Numeri Complessi, a cura di Roberto Ricci

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Un'oscillazione elementare u di ampiezza A, pulsazione w (positiva), periodo T e frequenza f, con w = 2p/T = 2pf e fase iniziale f Х rappresentata dalla funzione

u(t) =AЇcos(wt + f)

Non Х restrittivo supporre A non negativo; infatti per l'identitЮ cos(t +p) = -cos(t), possiamo scrivere
AЇcos(wt + f) = (-A)Їcos(wt + (f + p) )
ancora un'oscillazione elementare di ampiezza -A, pulsazione w, periodo T = 2p/w e fase iniziale f+p.

Considerare tale funzione come parte reale della funzione complessa
AЇe ⁱ⁽^w^t
+^f⁾
comporta dei vantaggi matematici.

Tale famiglia di funzioni complesse Х "stabile" rispetto a combinazioni lineari.

CioХ se u₁ e u₂ sono di questo tipo,
lo Х anche
hЇu₁ + kЇu₂
qualsiasi h e k reale non negativo.

Infatti:
essendo evidente che sia hЇu₁ sia kЇu₂ sono dello stesso tipo, Х sufficiente mostrare che lo Х anche la somma di due funzioni:

u₁(t) =A₁cos(wt + f₁) = Re A₁e ^{i(wt +f₁)},

u₂(t) =A₂cos(wt + f₂) = Re A₂e ⁱ⁽^w^{t +}^f^₂)

la loro somma si scrive

u₁(t) +u₂(t) = Re A₁e ⁱ⁽^w^{t
+}^f₁⁾+ Re A₂e ⁱ⁽^w^{t
+}^f₂⁾ =
= Re (A₁e ⁱ^f₁+ A₂eⁱ^f₂ )e ⁱ^w^t=
= Re Ae ⁱ^fe ⁱ^w^t= Re Ae ⁱ⁽^w^{t
+}^f⁾

essendo il numero complesso Ae ⁱ^fsomma dei due numeri complessi A₁e ⁱ^f e A₂ e ⁱ^f

Da qui l'idea - dovuta all'ingegnere americano Charles Proteus Steinmetz (1865-1923) - di rappresentare
la funzione u(t) =Acos(wt + f)
mediante il numero complesso z = Ae ⁱ^f, di modulo A e argomento (= fase) f.

Tale famiglia di funzioni Х "stabile" anche rispetto alla derivazione

Inoltre se la funzione u(t) Х rappresentata dal numero complesso z,

u'(t) Х rappresentata dal numero z' =iwz,

ruotato di un angolo retto in senso positivo e con modulo variato del fattore w

Infatti

se u(t) =Acos(wt + f), allora (in base alla formula di addizione del coseno)

u'(t) = -wAsin(wt + f)=

=wAcos(wt + (f + p/2) )

associata al numero complesso wAe ⁱ^(f+p/2)= iwAe ⁱ^f tenendo conto che e ⁱ^p/2 = i.

pagine e figure in CabriJava di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione